Penurunan persamaan gelombang stasioner pada ujung terikat atau ujung tetap

Persamaan gelombang datang :
y1 = A sin (ωt – k(l - x))
Persamaan gelombang pantul :
y2 = A sin [(ωt - k(l + x)) + 180o], ditambah 180o, karena terjadi loncatan fase ½ pada ujung terikat
Karena : sin (α + 180o) = -sin α , maka :
y2 = -A sin (ωt - k(l + x))

yp = y1 + y2
yp = A sin (ωt – k(l - x)) - A sin (ωt - k(l + x))
yp = A { sin (ωt – k(l - x)) - sin (ωt - k(l + x))}
yp = A { sin (ωt – kl + kx) - sin (ωt - kl - kx)}


Karena : sin A - sin B = 2 cos ½ (A+B).sin ½ (A-B)
Maka :
yp = A{2 cos ½ ((ωt – kl + kx) + (ωt - kl - kx)).
sin ½ ((ωt – kl + kx) - (ωt - kl - kx))}
yp = A{2 cos ½ (ωt – kl + kx + ωt - kl - kx).
sin ½ (ωt – kl + kx - ωt + kl + kx)}
yp = 2A cos ½ (2 ωt – 2 kl).sin ½ (2kx)
yp = 2A cos (ωt – kl).sin kx
atau
yp = 2A sin kx . cos (ωt – kl)
atau
yp = Ap. cos (ωt – kl)
Ap = 2A sin kx

Dimana:
l = panjang dawai (tali),
AP = amplitudo gelombang stasioner,
x = jarak titik P terhadap ujung pemantul

Letak perut dari ujung pemantul
x = kelipatan ganjil x ¼ panjang gelombang
x = (2n + 1) . 1/4 λ
n = 0, 1, 2, 3, ... dst
n = 0  perut 1
n = 1  perut 2, dst

Letak simpul dari ujung pemantul
x = kelipatan genap x ¼ panjang gelombang
x = (2n) . 1/4 λ
n = 0, 1, 2, 3, ... dst
n = 0  simpul 1
n = 1  simpul 2, dst



Penurunan persamaan gelombang stasioner pada ujung bebas

Persamaan gelombang datang :
y1 = A sin (ωt – k(l - x))
Persamaan gelombang pantul :
y2 = A sin [(ωt - k(l + x)),

yp = y1 + y2
yp = A sin (ωt – k(l - x)) + A sin (ωt - k(l + x))
yp = A { sin (ωt – k(l - x)) + sin (ωt - k(l + x))}
yp = A { sin (ωt – kl + kx) + sin (ωt - kl - kx)}


Karena : sin A + sin B = 2 sin ½ (A+B).cos ½ (A-B)
Maka :
yp = A{2 sin ½ ((ωt – kl + kx) + (ωt - kl - kx)).
cos ½ ((ωt – kl + kx) - (ωt - kl - kx))}
yp = A{2 sin ½ (ωt – kl + kx + ωt - kl - kx).
cos ½ (ωt – kl + kx - ωt + kl + kx)}
yp = 2A sin ½ (2 ωt – 2 kl).cos ½ (2kx)
yp = 2A sin (ωt – kl).cos kx
atau
yp = 2A cos kx . sin (ωt – kl)

atau
yp = Ap. sin (ωt – kl)
Ap = 2A cos kx

Dimana:
L = panjang dawai (tali),
AP = amplitudo gelombang stasioner,
x = jarak titik P terhadap ujung pemantul

Letak perut dari ujung pemantul
x = kelipatan genap x ¼ panjang gelombang
x = (2n) . 1/4 λ
n = 0, 1, 2, 3, ... dst
n = 0  perut 1
n = 1  perut 2, dst

Letak simpul dari ujung pemantul
x = kelipatan ganjil x ¼ panjang gelombang
x = (2n + 1) . 1/4 λ
n = 0, 1, 2, 3, ... dst
n = 0  simpul 1
n = 1  simpul 2, dst